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| # Veränderte Aufgaben (Quelle aller Aufgaben: Buck/ Dürr / Tagungsteilnehmer) ## Kriterien Die veränderten Aufgaben sollen dem Prüfling ermöglichen, sein fachliches und methodische Können zu zeigen. Hierzu benötigt man, neben dem traditionellen einfachen Einstieg, einen deutlich ansteigenden Schwierigkeitsgrad in den Aufgabenteilen b) bis d), eine möglichst offene Fragestellungen zumindest im letzten Teil und an geeigneten Stellen die Möglichkeit, dass die Schülerin bzw. der Schüler von sich aus auf andere mathematische Inhalte verzweigt und so ihren / seinen fachlichen Überblick nachweist. Während der Tagung zeigte sich, dass die Umformulierung herkömmlicher Aufgaben unter den genannten Gesichtspunkten leicht fällt. ## Beispiel
Gegeben sind die Funktionen f1, f2, f3 und f4 mit f1(x) = ex ; f2(x) = e-x ; f3(x) = - ex; f4(x) = 2 - e-x. | Voraussetzung
Auf der Folie ist das Schaubild einer dieser Funktionen eingezeichnet. Zeichnen Sie die Schaubilder der anderen drei Funktionen ein. | Leichter Einstieg. Schwache Schülerinnen / Schüler können Wertetafel bzw. Schaubild auch über GTR berechnen bzw. darstellen. Starke Prüflinge argumentieren mit Abbildungen. Die Grundlage einer Präsentation über Folie ist gegeben.
Prüfen Sie rechnerisch nach, ob sich die Schaubilder von f1 und f4 berühren. | Die Schülerin / der Schüler wählt die Methode selbst. Der Einsatz des GTR ist möglich.
Stellen Sie Anwendungen dar, bei denen Exponentialfunktionen eine Rolle spielen. | Offene Fragestellung. Schnell ansteigender Schwierigkeitsgrad. Verzweigungen sind möglich, z.B. zu den Wachstumsfunktionen.
Warum verwendet man dabei meistens die Basis e? | Verzweigung ist möglich, z.B. zur Herleitung von e. Auch Spitzenleute sind gefordert!
# Weitere veränderte Aufgaben ## Aufgabe 2: ( Ebenen ) Eine Ebene hat die Parametergleichung ; mit s, t ∈ R. Erläutern Sie die darin vorkommenden Vektoren anhand einer Skizze. Die untenstehende Abbildung zeigt die Skizze einer Ebene E. Geben Sie eine Parametergleichung von E an. Gibt es noch weitere Parametergleichungen von E? Was versteht man unter der Normalenform einer Ebenengleichung? Wie erhält man aus einer Parametergleichung einer Ebene eine Gleichung in Normalenform? Welche Vorteile hat die Normalenform? ## Aufgabe 3: ( Gebrochenrationale Funktionen ) Gegeben ist die Funktion f mit . a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und auf Asymptoten. Skizzieren Sie das Schaubild von f. b) Erläutern Sie den Begriff "waagerechte Asymptote". c) Welche anderen Arten von Asymptoten können Schaubilder von gebrochenrationalen Funktionen noch haben? Geben Sie jeweils ein Beispiel an. d) Gibt es gebrochenrationale Funktionen, deren Schaubilder keine senkrechten Asymptoten haben? ## Aufgabe 4: ( Lineare Gleichungssysteme ) a) Berechnen Sie die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems. 2x1 -x2 + 2x3 = 10 x2 + x3 = 1 2x2 - 3x3 = -13 b) Beschreiben Sie das Gauß-Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystem. c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. x1 + x2 + 2x3 = 4 3x1 + 2x2 + x3 = 6 Geben Sie die Lösungsmenge auch in Vektorform an. d) Interpretieren Sie die Aufgabe c) samt Ihrer Lösung geometrisch. ## Aufgabe 5: ( Geraden ) a) Die Gerade g geht durch die Punkte A (2|1|0) und B (3|0|2). Prüfen Sie, ob der Punkt C (0|3|-4) auf der Geraden g liegt. b) Die Gerade h ist parallel zur Geraden g und geht durch den Punkt D (0|0|4). Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Erläutern Sie, wie man den Abstand der beiden Geraden g und h berechnen kann. c) Was versteht man unter "windschiefen" Geraden? Wie kann man die gegenseitige Lage zweier Geraden untersuchen? ## ## Aufgabe 6: ( Schaubilder ) Gegeben ist folgendes Schaubild einer Funktion f. a) Skizziere das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion f'. b) Was lässt sich über das Schaubild einer zu f gehörenden Stammfunktion F aussagen? (Hinweis: Denke an Hoch-, Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Links-, Rechtskrümmung, Wendepunkte (mit kurzer Begründung!) ). #### Diskussion zu Aufgabe 6 Sind die Hinweise in der Klammer nötig? Vorschlag zur Formulierung: Teil 1: Überprüfe die Extrempunkte! Teil 2: Überprüfe weitere Eigenschaften! ## Aufgabe 7: ( Exponentialfunktion ) f(x) = (x - 5) ex a) Skizzieren Sie mit Hilfe des GTR den Graphen der Funktion f ! Hat das Schaubild Asymptoten ? c) Wie kann man Extremstellen der Funktion rechnerisch bestimmen ? c) Die Funktion f gehört zur Funktionenschar g mit g(x) = a(x - d) ex . Zusammenhang ? #### Diskussion zu Aufgabe 7 Genügt diese Formulierung aus Teil a) ? Ist präziser nach den Asymptoten zu fragen? Wie wurde es im vorhergehenden Unterricht geschult? Reicht das Stichwort "Zusammenhang" in Teil c) aus? ## Aufgabe 8: (Gebrochen rationale Funktionen ) a) Ordne folgende Funktionsterme den abgebildeten Schaubildern zu (mit kurzer Begründung). b) Erläutere, wie man den Extremwert von f1 - ohne Verwendung des Schaubildes - bestimmen kann. Um welche Art des Extremums handelt es sich? #### Hinweis zu Aufgabe 8 Um die Aufgaben bewerten zu können, wäre ein Erwartungshorizont und weitergehende Fragestellungen für jeden Schwierigkeitsgrad sinnvoll. ## Aufgabe 9: (Ableitungsfunktion ) a) Erläutern Sie die geometrische Bedeutung der 1. Ableitung anhand der Funktion f mit f(x)=(x-1)², x aus IR b) Von den zwei Kurven K und C (siehe Abbildung oben) stellt eine das Schaubild einer Funktion f, die andere das Schaubild der Ableitungsfunktion f' dar. Welche Kurve ist das Schaubild von f? Begründen Sie Ihre Aussage. c) Welche Aussagen kann man mithilfe der 1. Ableitung über den Verlauf des Schaubilds einer Funktion f treffen? ## Aufgabe 10: (Extremwerte und Ableitungsfunktion ) a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute und relative Extrema. b) Wie können Extremwerte ermittelt werden? c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild der Funktion f mit d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g . Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion. #### Hinweis zu Aufgabe 10 Es handelt sich um die Funktion Zusätze: Wendepunkte / Begriffe: notwendig, hinreichend; Beispiele dazu; · Verschiebung des Graphen um 1 nach oben, wie ändert sich Funktionsterm? ## Aufgabe 11: (Asymptoten ) #### Gebrochenrationale Funktionen / Asymptoten / Einsatz GTR #### a) Untersuchen Sie die Funktion f mit . Skizzieren Sie das Schaubild und erläutern Sie die wesentlichen Eigenschaften des Graphen. b) Zählen Sie die verschiedenen Arten von Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Erläutern Sie jeweils anhand eines geeigneten Beispiels. c) Was versteht man unter einer stetig hebbaren Definitionslücke? Ändern Sie den Term von f aus a) so ab, dass eine Funktion g entsteht, die an der Stelle x = 5 eine hebbare Definitionslücke hat. ## Aufgabe 12: (Abstände ) Die Ebene E ist parallel zur x1-Achse und enthält die Punkte A(1|2|1,5) und B (2|4|0). a) Stelle eine Gleichung von E auf und erläutere deine Vorgehensweise. b) Wähle einen Punkt, der nicht in E liegt und bestimme seinen Abstand zu E. c) Welche Methoden zur Abstandsberechnung eines Punktes von der Ebene kennst du? Bewerte die Verfahren. ## Aufgabe 13: (Geraden und Ebenen ) Die Ebene E ist parallel zur x1-Achse und enthält die Punkte A(1I2I1,5) und B (2I4I0). a) Skizziere die Ebene im Koordinatensystem und beschreibe die Ebene in mathematisch verschiedenen Formen. b) Skizziere Ebenen in spezieller Lage und gib jeweils eine mögliche Gleichung dazu an. c) Wie lassen sich Geraden im Koordinatensystem darstellen? Berücksichtige auch spezielle Lagen. ## Aufgabe 14: (Spiegelpunkt ) a) Welches ist der Spiegelpunkt P' von P(1I2I3) bei Spiegelung - an der x1x2-Ebene - am Ursprung 0 - an der Ebene ... b) Wie geht man vor, wenn man einen Punkt P an - einem Punkt Q - einer Geraden g - einer Ebene E spiegelt? c) Wie lässt sich eine Gerade g an einer Ebene E spiegeln? Zurück zum Hauptdokument
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